数学から学べること⑰~式変形の意味と目的~

 

チャオ~、シンジュンです。(・∀・)

数学から学べる本質的な思考「数学から学べることシリーズ」第17回です☆彡

 

 

数学を勉強していると<式変形>は当たり前のように何度も登場してきます。

式の形を変えることが<式変形>ですが、

<式変形の意味>まで考えて勉強している中学生・高校生はどれくらいいるのだろうか?と思います。( ˘ω˘ )

 

 

今日は<式変形の意味>について触れてみたいです。(*‘ω‘ *)

 

数式a+b=?

式変形の意味

 

数学から学べること第3回で「式は<文章>だ」という内容を書きました。(・∀・)

 

 

実際<数式>というのは文章と同じで、

あることを表現したい時に<数学の記号>を用いて表現しているに過ぎません。(‘ω’)

 

 

そのため数式を変形するというのは、

文章を並び替えたり、違ったように見ているのと同じです。(^ω^)

 

 

例えば、

「太郎君の後ろを花子さんが走っている」

という文章があった場合、これは

「花子さんの前を太郎君が走っている」

と言っても、同じことです。

文章としては異なっていますが、本質的に同じことを言っている文章です。( ・`д・´)

 

 

数式も同じです。

 

 

a=b+1」と「b=a-1」は式変形をしただけですが、

文章としては「aはbより1大きい」と「bはaより1小さい」という二つの違った表現になります。

この二つの文章(数式)は、文章としては異なりますが、本質的には同じことを言っています。( ・`д・´)

 

 

そのため、

「式変形をする」=「文章表現を変える」

という<感覚>を身に着けることは、数学を勉強する上でとても重要な能力に繋がります。(*‘ω‘ *)

 

 

そのため、ただ闇雲に式変形をするのではなくて、

「どうして式変形をするのか?」=「どうして文章表現を変えるのか?」

を考えながら(感じながら)式変形をすることは大事なことです。

 

 

いつも「なぜそれをするのか?」という<目的>が大事ですね。(*‘ω‘ *)

 

的

超簡単な具体例

 

超簡単な具体例を挙げてみます。(‘ω’)

 

次の方程式を解きなさい。(0 \leqq x<2 \pi)

\sin^2 x+\sin x -2=0

 

こんな問題があった場合に、どうしましょうか?( ˘ω˘ )

 

 

いろいろな方法があると思いますが、

高校の数学の教科書では大体、新しい文字「t」を導入して、「t=\sin x」と置換します。

 

 

そうすると上の式が、

t^2 +t -2=0

というお馴染みの式になって、

(t-1)(t+2)=0

これを「t」について解くと

t=1,-2

と解けます。

 

 

たまにここで大満足して、

答え「t=1,-2」!

と書いたりする子がいます。( ´艸`)

 

 

気持ちは大いに分かりますが、しかしもともと知りたいのは「x」なので、笑

t=\sin x」であったことを思い出し、

\sin x=1,-2」を満たす「x」を探さないといけません。

ところが「\sin x=-2」を満たす「x」は存在しないので、

\sin x=1」だけ解いて「x=\frac{\pi}{2}」という答えが導けます。

 

 

これが一番オーソドックスな回答なのかなと思います。( ˘ω˘ )

 

 

ここでポイントは「t=\sin x」とおく部分です。( ・`д・´)

「なんでおく????」という疑問を、人生100年生きる間に、一度くらいは持ってみると良いのかなと。( ˘ω˘ )

 

 

ここでは単純に「式を見やすくするため」に置いています。

上の式を見ると「\sin x」がなんかゴチャゴチャしていて見にくい!という感じがするので、置換して見やすくしたに過ぎません。

 

 

なので、ゴチャゴチャして見にくくないという人は、わざわざ置換しなくても、

\sin^2 x+\sin x -2=0

(\sin x -1)(\sin x +2)=0

\sin x =1,-2

と解いていってもOKです。( ˘ω˘ )

 

 

超簡単な例ですが、実際現場で高校生に教えていると、

「とにかくtで置く!!」という感じで「解法丸暗記」な子も少なくありません。(-_-;)

 

 

「なんでtで置くのか?」

「なぜ左辺に寄せるのか?」

など、式変形の意味と目的を考えてみると、

解法に書いてある式変形一つ一つの意味が見えてきて、

「ああ~、この式変形はここに向かっていたのか~」(‘ω’)と見えるようになってきます。

 

 

<式変形>は文章表現を変えることです。(‘ω’)

 

 

なぜ式の形を変えるのか?

どのように変えたら、自分の知りたいことが見えてくるのか?

一つ一つ意味と目的を分かって行なう癖をつけておくと、

数学だけに留まらず、将来社会に出た時にも、大いに役に立つ力を見つけられると思います☆彡(*‘ω‘ *)

 

 

【今日の二言まとめ】

1.<式変形>の意味と目的を考えて変形する!

2.以下は<式変形>ではなく<改ざん>。(; ・`д・´)

数式2+2=5

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